10-abril-2012.

Rene Descartes

(La Haye, Francia, 1596 - Estocolmo, Suecia, 1650) Filósofo y matemático francés. René Descartes se educó en el colegio jesuita de La Flèche (1604-1612), donde gozó de un cierto trato de favor en atención a su delicada salud.

Obtuvo el título de bachiller y de licenciado en derecho por la facultad de Poitiers (1616), y a los veintidós años partió hacia los Países Bajos, donde sirvió como soldado en el ejército de Mauricio de Nassau. En 1619 se enroló en las filas del duque de Baviera; el 10 de noviembre, en el curso de tres sueños sucesivos, René Descartes experimentó la famosa «revelación» que lo condujo a la elaboración de su método.



http://www.biografiasyvidas.com/biografia/d/descartes.htm

Marzo 28 2012

Funciones Polimoniales

Una Funcion polimonial de grado N es una funcion de la forma:

P(x)= AnX^n + An-1X^n-1

Donde  N es un entero no negativo y an = 0
Los Numeros a0,a1,a2 ... an se llaman coeficientes del polinomios

El numero ao es el coeficiente constante
El numero an, el coeficiente de la potencia mas alta es el coeficient principal y el termino an x^n es el termino
principal.

Ej. 1.f(x) = 3x^4 - 2x^3 + 8x^2 + 7x + 1
2. f(x) = -6x^3 - 2x +1
3.f(x) = 6x^34 - 7x^3 - 7x + 9

Grafica de una funcion Polimonial
F(X) = x^3 - x
= x (x^2 - 1)
= x (x+1) (x-1)

Grafica:

Grafica de una funcion Polimonial:
- Grado del polinomio: n
- Multiplicidad par: grafica toca el eje de x.
- Multiplicidad impar: grafica cruza el eje de x
- Entre ceros, la grafica puede estar debajo o encima del eje de x
- Comportamiento terminal para grado impar si el coeficiente principal es positivo , comienza abajo y termina arriba, si es negativo, comienza arriba y termina abajo
- Comportamiento terminal para grado par el coeficiente principal es positivo, comienza abajo y termina abajo

9,10,11 -abril-2012.

Titulo: Funciones Polinomiales.

Ej: 1
x^(3 )+ 2x^(2 )- 5x
=x〖(x〗^(2 )+ 2x-5
x_█(1=0 x^2+ 2x-5=0@)
A= 1, b= 2, c=-5
x=(-b±√(b^2-4ac))/2a

x=(-2±√(2^2-4(1)(-5)))/(2(1))
x=(-2±√(2^2-4(1)(-5)))/(2(1))
x=(-2±√(4+20))/(2(1))
x=(-2±√24)/2
x_1=(-2+√24)/2 ≈0.44
x_2=(-2-√24)/2 ≈ -4.4

Division Sintetica
〖2 x〗^4+ 12x^3+ 6x^2-5x+75 ÷x+5

5 2 12 6 -5 75
-10 -10 20 -75

2 2 -4 15 0

(x+5〖)2x〗^3+ 2x^2- 4x+15
f(x)= x^3+ 7x^2+ 14x+8

Factores 8: ± 1,±2,±4,±8
Factores 1: ± 1

Los posibles ceros de la function son : {± 1,±2,±4,±8}

-4 1 7 14 8

-4 -12 -8
-2 1 3 2 0
-2 -2
1 1 0

X + 1 = o
X= -1

x_█(1= -4@x2= -2@x3= -1)

X= -4 =>x+4
X= -2 =>x+2
X= -1 =>x+1

f(x)=6x^4+ 7x^3- 12x^2- 3x+2


Encuentre un polinomios cuyos ceros son : 2 , -3 , 4

x_(1=) 2=>x-2
x_2= -3=>x+3
x_3=4=>x-4

f(x)= ( x – 2 ) ( x + 3 ) ( x – 4 )
=[x^2+ 3x-2x-6]( x-4 )
[x^2+x -6]( x-4 )

=x^3- 3x^2- 10x+24

f(x) = x^3- 3x^2- 10x+24


Ceros y Multiplicados

Encuentre una function cuyos ceros son : 2 , 3 ( multiplidad 2 )

x_█(1= 2 => x-2@x2=3=> x-3@x3=3=>x-3@x4=1=>x-1)
f(x)=( x-2 )( x-〖3)〗^(2 ) ( x-1)
=( x−2 ) 〖(x〗^2- 2(3x)+ 3^2 ) (x-1)
= (x-2)(x^2-6x+9) (x-1)
= (x^(3 )– 6x^2+ 9x-2x^2+ 12x-18 ( x-1)
=x^4-8x^2+ 21x-18)( x-1)
=x^4-x^3-8x^3+8x^2+21x^2-21x-18x+18

f(x) =x^4-x^3-8x^3+8x^2+21x^2-21x-18x+18

Encuentre un polinomio con ceros: i , -I , 2 y -2

x_█(1= i => x-i@x2=-i=> x+i@x3=2=>x-2@x4=-2=>x+2)

√(-1)=i
i^(2 )= -1

f(x)= ( x – i ) ( x + i) ( x – 2 ) ( x + 2 )
[= ( x – i ) ( x + i) ( x – 2 ) ( x + 2 )]
= (x^2-i^2)(x^2-4)
= [x^2- ( -1 )][x^2-4]
= (x^2+ 1) (x^2-4)
=x^4-4x^2+ x^2-4
f(x)= x^4-4x^2+ x^2-4
factores 4: ± 1 ,±2 ,±4
factores 1: ± 1
Los posibles ceros: {± 1 ,±2 ,±4}

2 1 0 -3 0 -4
2 4 2 4
- 2 1 2 1 2 0
-2 0 -2
1 0 1 0

f(x)= x^2+ 1

0=x^2+ 1
±√(-1 )=√(x^2 )
± i=x
x_1=i
x_(2=-i)

Función Cuadrática (28 de febrero de 2012)

Función Cuadrática

Una función cuadrática es una función que puede ser escrita en la forma f(x) = a =  + k (a≠0)

La gráfica de una función cuadrática tiene forma de “U” y se conoce como una parábola.

Vértice de una Parábola

Si una parábola abre hacia arriba, tiene un punto mínimo.

Si una parábola abre hacia abajo, tiene un punto máximo.

Este punto más bajo o más alto es el vértice de la parábola.

La forma del vértice de una función cuadrática es f(x) = a(x- +k

Dominio de una Función (17 de enero de 2012.)

Dominio de Función

·         Es el conjunto de todos los posibles valores de x que la función acepta.

·         A menudo el dominio de una función no aparece especificado; la función aparece indicada por una ecuación en dos variables.

·         En ese caso, Df = {x   / y= f (x) }

·         Es decir, el dominio de la función f es el conjunto mayor de números reales, tales que el valor resultante f(x) es un número real (conjunto de valores de x).

Ejemplos:

1.       f(x) =

f(5) =  = 25

f(-3) =  = 9

f =  =

Composicion de Funciones

Funcion Compuesta: (f o g) (x)
                                (g o f) (x)
                                (f o f) (x)
                               (g o g) (x)

f(x) = (x^2)
g(x) = x-3

1. (f o g) (x) = f (g(x) )
                   = (x-3)^2
                   = (x^2) - 3x - 3x + 9
                   = (x^2) - 6x + 9

2. (g o f) (x) = g (f(x) )
                   = (x^2) - 2

3.(f o g) (x) = f (f(x) )
                  = (x^2)^2
                  = x^4

4.(g o g) (x) = g (g(x) )
                   = x-3-3
                   = x-6

f(x) = (2x^2) - 3x
g(x) = x + 1

1.(f o g)(x) = f (g(x) )
= (2x+1)^2 - 3x-3
= (2x^2)+ 2x + 1) -3x-3
=(2x^2) + 4x + 2 - 3x -3
= (2x^2) + x-1

2. (f o g) (x) = g (f(x) )
= (2x^2) - 3x + 1

3. (f o g) (x) = f (f (x) )
= 2( (2x^2) - 3x)^2) - 3 ( (2x^2) - 3x )

(2x^2)- 3x) ( 2x^2) -3x )
= 4x^4 - 6x^3 + 9x^2
=4x^4 - 12x^3 + 9x^2

2(4x^4 - 12x^3 + 9x^2) - 6x^2 + 9x
8x^4 - 24x^3 + 18x^2 - 6x^2 + 9x
= 8x^4 - 24x^3 + 12x^2 + 9x

4. (f o g) (x) = f (g(x) )

6(X) - 5
  (2)

6X - 5
  2

= 3X - 5

6 - 02 - 2012

Funciones con Dominio Partido

Ej.    1. F(X) = x(^2), x ≥ 0

                        /x/, x ≤ 0

                        7, x = 2

GRAFICA:

 

 

2. F(X) = x^2 , X ≤ 1

 X          F(X) = x^2          F (x)

 1          f(1) = (1)^2           1

 0           f(0) = (0)^2          0

-1          f(-1) = (-)5^2        1

-2          f(-2) = (-2)^2        4

-3        f(-3) = (-3)^2          9

-4        f(-4) = (-4)^2       16


X         F(X)= 2X + 1        F(X)

1             f(1)=2(1) +1         3

2             f(2)=2(2)+1          5

3             f(3)= 2(3)+1        7

4              f(4)=2(4)+1       9


5             f(5)=2(5)+1      11


GRAFICA:

6-3-2012.

Titulo: Eje de Simetria

El eje de simetria es la recta que pasa por el vertice de una parabola que divide la parabola en dos mitades congruentes.

La funcion cuadratica 〖 f(x)=a ( X-h)〗^2+ K tiene el eje de simetria x= h.

Funciones Cuadraticas

- Vertice
- Eje de simetria
- Intercepto en Y
- Intercepto en X
- Tabla de valores
- Grafica

Forma Genral Forma Estandar
〖 f(x)=a x〗^2+ bx+c 〖 f(x)=a ( X-h)〗^2+ K

23-1-2012.

23-1-12.
Titulo: Trazado de graficas.


Y = f (x) + C

Si C > 0 la grafica se mueve C unidades hacia arriba.
Si C < 0 la grafica se mueve C unidades hacia abajo.
f(x〖) =x〗^3 f(x〖) =x〗^(3 )– 2 f(x)= √x f(x)= √x+ 3
f(x)= √x- 3 (f(x)= 1)⁄x (f(x)= 1)⁄x+ 2
Desplazamiento Horizontal

Y = f (x+k)
Si K > 0 la grafica se mueve K unidades hacia la izquierda.
Si K < 0 la grafica se mueve K unidades hacia la derecha.
f(x〖) =x〗^2 〖 f(x)=( X +2〗^2) 〖 f(x)=( X-2)〗^3

12-01-2012

OBSERVACIONES:Funciones
- Las Funciones se denotan por letras tales como:
f,F,g,G
- La Funcion que a cada numero real le asigna su cuadrado, puede representarse como: f(x)= x^ , g(5)=5^ *(elevados a la 2)
- Es importante señalar que puede utilizarse cualquier letra para nombrar la variable independiente.
- La expresion anterior se lee como:"f de x" o "f en x".No significa f multiplicado por x. Significa el valor de "Y" que la funcion "f" le asigna a la x.
- A la variable x se le llama la variable INDEPENDIENTE(tambien se le llama el argumento de la funcion) y la variable se le llama la variable dependiente.

11- 1- 12.

Definición de Relación
- Una relación es una regla que establece una correspondencia entre dos conjuntos.
- Si x & y son dos elementos de los conjuntos x & y, decimos que x corresponde a y o y depende de x
- También podemos escribir x----y
- También podemos indicar la relación como un conjunto de pares ordenandos (x,y)



La Siguiente tabla representa una relación entre 4 libros y el precio correspondiente
Matemáticas $ 18.95
Físicas $ 108.00
Ciencias $ 43.90
Español $ 120.00
Si a la relaciones entre conjunto le añadimos la siguiente restricción a cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo conjunto, entonces lo que obtenemos es una función.
Consideremos las Siguientes tablas:
X Y X Y
1 1 -2 4
2 8 -1 1
3 27 0 0
4 64 1 1